.. _chap_notation: Обозначения =========== Во всей книге мы придерживаемся следующих соглашений по обозначениям. Обратите внимание, что некоторые из этих символов являются заполнителями, тогда как другие относятся к конкретным объектам. В качестве общего правила неопределенный артикль «a» часто указывает на то, что символ является заполнителем и что аналогично оформленные символы могут обозначать другие объекты того же типа. Например, «\ :math:`x`: a scalar» означает, что строчные буквы, как правило, представляют скалярные значения, тогда как «\ :math:`\mathbb{Z}`: the set of integers» относится конкретно к символу :math:`\mathbb{Z}`. Числовые объекты ---------------- - :math:`x`: скаляр - :math:`\mathbf{x}`: вектор - :math:`\mathbf{X}`: матрица - :math:`\mathsf{X}`: произвольный тензор - :math:`\mathbf{I}`: единичная матрица (заданной размерности), то есть квадратная матрица с :math:`1` на всех диагональных элементах и :math:`0` на всех остальных - :math:`x_i`, :math:`[\mathbf{x}]_i`: :math:`i^\textrm{th}`-й элемент вектора :math:`\mathbf{x}` - :math:`x_{ij}`, :math:`x_{i,j}`, :math:`[\mathbf{X}]_{ij}`, :math:`[\mathbf{X}]_{i,j}`: элемент матрицы :math:`\mathbf{X}` на пересечении строки :math:`i` и столбца :math:`j`. Теория множеств --------------- - :math:`\mathcal{X}`: множество - :math:`\mathbb{Z}`: множество целых чисел - :math:`\mathbb{Z}^+`: множество натуральных чисел - :math:`\mathbb{R}`: множество действительных чисел - :math:`\mathbb{R}^n`: множество :math:`n`-мерных векторов вещественных чисел - :math:`\mathbb{R}^{a\times b}`: Множество матриц из действительных чисел размера :math:`a` × :math:`b` - :math:`|\mathcal{X}|`: мощность (количество элементов) множества :math:`\mathcal{X}` - :math:`\mathcal{A}\cup\mathcal{B}`: объединение множеств :math:`\mathcal{A}` и :math:`\mathcal{B}` - :math:`\mathcal{A}\cap\mathcal{B}`: пересечение множеств :math:`\mathcal{A}` и :math:`\mathcal{B}` - :math:`\mathcal{A}\setminus\mathcal{B}`: разность множеств :math:`\mathcal{B}` и :math:`\mathcal{A}` (содержит только те элементы :math:`\mathcal{A}`, которые не принадлежат :math:`\mathcal{B}`) Функции и операторы ------------------- - :math:`f(\cdot)`: функция - :math:`\log(\cdot)`: натуральный логарифм (основание :math:`e`) - :math:`\log_2(\cdot)`: логарифм по основанию :math:`2` - :math:`\exp(\cdot)`: экспоненциальная функция - :math:`\mathbf{1}(\cdot)`: индикаторная функция; принимает значение :math:`1`, если логический аргумент истинен, и :math:`0` в противном случае - :math:`\mathbf{1}_{\mathcal{X}}(z)`: функция принадлежности к множеству; принимает значение :math:`1`, если элемент :math:`z` принадлежит множеству :math:`\mathcal{X}`, и :math:`0` в противном случае - :math:`\mathbf{(\cdot)}^\top`: транспонирование вектора или матрицы - :math:`\mathbf{X}^{-1}`: обратная матрица :math:`\mathbf{X}` - :math:`\odot`: поэлементное произведение (произведение Адамара) - :math:`[\cdot, \cdot]`: конкатенация - :math:`\|\cdot\|_p`: :math:`\ell_p` норма - :math:`\|\cdot\|`: :math:`\ell_2` норма - :math:`\langle \mathbf{x}, \mathbf{y} \rangle`: скалярное (внутреннее) произведение векторов :math:`\mathbf{x}` и :math:`\mathbf{y}` - :math:`\sum`: суммирование по набору элементов - :math:`\prod`: произведение элементов - :math:`\stackrel{\textrm{def}}{=}`: равенство, используемое в качестве определения символа слева Математический анализ --------------------- - :math:`\frac{dy}{dx}`: производная :math:`y` по :math:`x` - :math:`\frac{\partial y}{\partial x}`: частная производная :math:`y` по :math:`x` - :math:`\nabla_{\mathbf{x}} y`: градиент :math:`y` по :math:`\mathbf{x}` - :math:`\int_a^b f(x) \;dx`: определённый интеграл от :math:`f` от :math:`a` до :math:`b` по :math:`x` - :math:`\int f(x) \;dx`: неопределённый интеграл от :math:`f` по :math:`x` Вероятность и теория информации ------------------------------- - :math:`X`: случайная величина - :math:`P`: распределение вероятностей - :math:`X \sim P`: случайная величина :math:`X` имеет распределение :math:`P` - :math:`P(X=x)`: вероятность, присвоенная событию, при котором случайная величина :math:`X` принимает значение :math:`x` - :math:`P(X \mid Y)`: условное распределение вероятностей :math:`X` при условии :math:`Y` - :math:`p(\cdot)`: функция плотности вероятности (PDF), соответствующая распределению :math:`P` - :math:`{E}[X]`: математическое ожидание случайной величины :math:`X` - :math:`X \perp Y`: случайные величины :math:`X` и :math:`Y` независимы - :math:`X \perp Y \mid Z`: случайные величины :math:`X` и :math:`Y` условно независимы при заданном :math:`Z` - :math:`\sigma_X`: стандартное отклонение случайной величины :math:`X` - :math:`\textrm{Var}(X)`: дисперсия случайной величины :math:`X`, равная :math:`\sigma^2_X` - :math:`\textrm{Cov}(X, Y)`: ковариация случайных величин :math:`X` и :math:`Y` - :math:`\rho(X, Y)`: коэффициент корреляции Пирсона между :math:`X` и :math:`Y` равен :math:`\frac{\textrm{Cov}(X, Y)}{\sigma_X \sigma_Y}` - :math:`H(X)`: энтропия случайной величины :math:`X` - :math:`D_{\textrm{KL}}(P\|Q)`: расхождение Кульбака–Лейблера (или относительная энтропия) между распределениями :math:`Q` и :math:`P` `Обсуждения `__